Einzelschritte

1. Die Rohdaten aus den k Stichproben/Gruppen werden zu N Elementen zusammengefasst und dann vom niedrigsten zum höchsten Rang geordnet.
2. Gleiche Werte werden mit dem Mittelwert der jeweiligen Ränge versehen.
3. Diese Ränge werden dann wieder in die k Gruppen einsortiert.
4. Bildung der Rangsummen pro Stichprobe i=1 bis k
5. Berechnung der Teststatistik H
   • Wenn mehr als 25 % den gleichen Rang haben, muss die H-Statistik korrigiert werden
6. Prüfverteilung
   • wenn \(n_i\) < 6 und k = 3 wird die H-Test-Tabelle verwendet
   • wenn \(n_i\) ≥ 6 und k > 3 ist H näherungsweise \(\chi^2\)-verteilt (df = k-1)

Es soll die Hypothese getestet werden, dass sich die durchschnittliche Kronblattweite der drei Iris Arten unterscheidet.

kruskal.test(Petal.Width ~ Species, data = iris)

    Kruskal-Wallis rank sum test

data:  Petal.Width by Species
Kruskal-Wallis chi-squared = 131.19, df = 2, p-value < 2.2e-16

• In seiner einfachsten Form die Erweiterung der t-Statistik für mehrere Stichproben.
• Eine weit verbreitete statistische Methode.
• Testet auf Mittelwertunterschiede, indem die geschätzte Gesamtvariabilität in den Daten in 2 Teile zerlegt wird:
  • Variabilität innerhalb (‘within’) der verschiedenen Gruppen
  • Variabilität zwischen (‘between’) den verschiedenen Gruppen
• Wenn sich die Varianzen zwischen den Stichproben unterscheiden, müssen sich auch die Mittelwerte zwischen den Stichproben unterscheiden!
• Mit anderen Worten: je größer der Unterschied in der Varianz zwischen den Stichproben im Vergleich zum Unterschied innerhalb der Stichproben ist, desto wahrscheinlicher ist ein Unterschied im Mittelwert zwischen den Stichproben!
  
• Wichtige Annahme: Homogenität der Varianzen innerhalb jeder Gruppe (wichtiger als Normalverteilung!!!)

• Variablentypen:
  • Unabhängige Variablen (X) sind meist kategorial und werden “Faktoren” genannt, die verschiedenen Kategorien werden “Faktorstufen” oder “Gruppen” genannt → sollten auch in R explizit als factor definiert werden!
  • Abhängige Variablen (Y) sind diskret oder kontinuierlich
• ANOVA-Typen (abhängig vom experimentellen Design):
  • 1 Faktor = einfaktorielle Varianzanalyse (1-way ANOVA)
  • 2 Faktoren = zweifaktorielle Varianzanalyse (2-way ANOVA)
  • ≥3 Faktoren = mehrfaktorielle Varianzanalyse (multi-way ANOVA)
  • Wenn >1 Faktor
    • geschachteltes (nested) vs. gekreuztes (crossed) Design
    • fixed vs. random vs. mixed effect model
    • mit/ohne Messwiederholung, Blockdesign

Gesamtmittelwert: 2.5

• Behandlungen (hier = Käfigtypen) erklären nichts
  • \(SS_{Gruppen}\) = 0
  • \(SS_{Residual}\) = \(SS_{Total}\)

Gesamtmittelwert: 2.5

• Behandlungen (hier = Käfigtypen) erklären alles
  • \(SS_{Gruppen}\) = \(SS_{Total}\)
  • \(SS_{Residual}\) = 0

H0:

• Kein Unterschied zwischen den Gruppenmitteln \(\mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_i = \mu\)
• Denn Gruppeneffekte sind definiert als \(\alpha_i = \mu_i - \mu\),
  • Kann auch ausgedrückt werden als: “Es gibt keinen Effekt bestimmter Behandlungsstufen (treatment effects), die Unterschiede sind nur zufällig”: \(\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = .. = 0\)

Sowohl \(MS_{Groups}\) als auch \(MS_{Residuals}\) schätzen \(\sigma^2\) → Quotient = 1

• F-Ratio folgt F-Verteilung mit \(df_{Groups}\) und \(df_{Residuals}\)

• Es gibt einen signifikanten Effekt von mindestens einem Käfigtyp auf das mittlere Gewicht des Atlantischen Lachses. Mit anderen Worten: Die mittleren Gewichte von Atlantischem Lachs, der in verschiedenen Käfigen gezüchtet wurde, unterscheiden sich mindestens bei einem Käfigtyp.
• ABER: wir wissen noch nicht, welche Gruppe sich unterscheidet!

aov(formula, data = NULL, projections = FALSE, qr = TRUE, contrasts = NULL, ...)

Die volle ANOVA Tabelle erhältst Du aber nur mit der summary() Funktion, die auf das aov Objekt angewendet wird:

model <- aov(formula = y ~ factor, data)
summary(model)

Die Berechnung der Effektgröße für Designs zwischen Gruppen ist viel einfacher als für Designs innerhalb von Gruppen:

\[\eta^2 = \frac{SS_{Groups}}{SS_{Total}}\]

50.66 / (50.66 + 18.55)

[1] 0.7319751

# Allgemein anwendbarer Code
mod_sum <- summary(mod)
# str(mod_sum)
eta_sq <- mod_sum[[1]]$`Sum Sq`[1] / (mod_sum[[1]]$`Sum Sq`[1] + mod_sum[[1]]$`Sum Sq`[2] )
eta_sq

[1] 0.7320291

Beispiel Lachszucht

Zuerst müssen die p-Werte der paarweisen t-Tests extrahiert werden:

# Datensatz ins weite Format bringen
sw <- salmon %>% mutate(id = rep(1:24, 4)) %>%
  pivot_wider(names_from = "cages", values_from = "weight")

# p-Werte der paarweisen t-Tests im Vektor speichern
p_vals <- c(
  t.test(sw$A, sw$B, equal.var = TRUE)$p.value,
  t.test(sw$A, sw$C, equal.var = TRUE)$p.value,
  t.test(sw$A, sw$D, equal.var = TRUE)$p.value,
  t.test(sw$B, sw$C, equal.var = TRUE)$p.value,
  t.test(sw$B, sw$D, equal.var = TRUE)$p.value,
  t.test(sw$C, sw$D, equal.var = TRUE)$p.value
)

Beispiel Lachszucht

Nun kann die p.adjust() Funktion angewendet werden:

p_vals

[1] 3.401267e-04 1.507993e-14 1.699829e-03 3.113790e-09 8.912992e-10
[6] 1.804047e-19

p.adjust(p_vals, method = "bonferroni")

[1] 2.040760e-03 9.047960e-14 1.019897e-02 1.868274e-08 5.347795e-09
[6] 1.082428e-18

p.adjust(p_vals, method = "holm")

[1] 6.802534e-04 7.539967e-14 1.699829e-03 9.341370e-09 3.565197e-09
[6] 1.082428e-18

Beispiel Lachszucht

mod <- aov(formula = weight ~ cages, data = salmon)
TukeyHSD(mod)

  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = weight ~ cages, data = salmon)

$cages
          diff        lwr         upr     p adj
B-A  0.5300004  0.1908584  0.86914230 0.0005296
C-A  1.5323398  1.1931979  1.87148174 0.0000000
D-A -0.4078477 -0.7469896 -0.06870573 0.0117375
C-B  1.0023394  0.6631975  1.34148137 0.0000000
D-B -0.9378480 -1.2769900 -0.59870610 0.0000000
D-C -1.9401875 -2.2793294 -1.60104554 0.0000000